Pour les
prochaines séances : appel à bonnes volontés.
Vendredi 26/11 15h - Karine Beauchard
Résumé :
Explicit
formulas
expressing
the solution
to
non-autonomous differential
equations
are
of great
importance
in
many
application domains
such
as
control
theory
or
numerical
operator
splitting.
In
particular, intrinsic formulas allowing
to
decouple time-dependent features
from geometry-dependent
features of the solution have been extensively studied. First,
we
give
a
didactic review
of
classical
expansions
for
formal
linear
differential
equations,
including
the
celebrated
Magnus
expansion
(associated
with
coordinates
of
the
first kind)
and
Sussmann’s
infinite
product
expansion
(associated
with
coordinates
of
the
second kind).
Inspired
by
quantum
mechanics,
we
introduce
a
new
mixed
expansion,
designed
to isolate
the
role of a time-invariant drift from the role of a time-varying
perturbation. Second,
in the context of nonlinear ordinary differential equations driven
by
regular vector fields,
we give rigorous proofs of error estimates between the exact
solution
and finite approximations
of
the formal expansions. In
particular,
we derive new estimates focusing on the role of
time-varying
perturbations.
For
scalar-input
systems,
we
derive
new
estimates
involving only
a weak Sobolev norm of the input. Third,
we investigate the local convergence of these expansions.
We
recall known positive
results
for nilpotent dynamics and for linear dynamics.
Nevertheless,
we also exhibit arbitrarily
small
analytic
vector
fields for
which
the
convergence of
the Magnus
expansion
fails,
even
in very
weak senses. We
state an open problem concerning the convergence of Sussmann’s
infinite product
expansion. Eventually,
we derive approximate direct intrinsic representations for the state
and discuss their
link with the choice of an appropriate change of coordinates.
Jeudi 30/09 10h30 - Morgan Morancey
Contrôlabilité de problèmes paraboliques (1D) : autour de la méthode
des moments par blocs
Résumé : L'objectif de cet exposé est de présenter la méthode des
moments par blocs qui permet d'étudier la contrôlabilité à zéro d'un
problème de contrôle parabolique donné.
Je rappellerai brièvement les conditions sur le spectre de l'opérateur
d'évolution pouvant conduire à l'existence d'un temps minimal positif.
Puis je présenterai le principe de la méthode des moments par blocs (qui
comme son nom l'indique est une extension de la méthode des moments)
lorsque le contrôle est scalaire. C'est un travail en collaboration avec
Assia Benabdallah et Franck Boyer.
Ensuite, si j'arrive à ne pas être trop long sur la 1ère partie, je
présenterai l'extension de cette méthode pour traiter n'importe quel
opérateur de contrôle admissible et donnerai des exemples d'application.
C'est un travail en collaboration avec Franck Boyer.
Bien qu'étant une généralisation de la méthode des moments, nous ne nous
sommes pas débarrassés de sa principale restriction : les systèmes
paraboliques présentés seront donc 1D.
Lundi 31/05 - Sylvain
Ervedoza Sur le contrôle d’équations elliptiques semi-linéaires.
Résumé : Dans cet exposé, je présenterai des travaux en
cours avec Kévin Le Balc’h sur le contrôle d’équations elliptiques
semi-linéaires, en me concentrant sur le cas de la dimension deux
d'espace. Ce travail s’inscrit dans la continuité de travaux sur la
conjecture de Landis, notamment sur un travail récent de Logunov,
Malinnikova, Nadirashvili et Nazarov, et s’intéresse à une question
proche de la contrôlabilité d’équations de la chaleur semi-linéaires
étudiée par Fernandez-Cara et Zuazua. Après un rappel sur ces
différentes questions, je présenterai les résultats préliminaires que
nous avons obtenu pour l’instant, en adaptant l’approche de Logunov et
al (2020) à notre contexte, en quantifiant notamment l’observabilité
pour une équation elliptique en fonction de la norme du potentiel, et
reposant sur les ingrédients suivants: une construction de domaine
perforé basée sur l’ensemble nodal de la solution pour obtenir une
inégalité de Poincaré avec constante petite, une transformée
quasi-conforme pour absorber le potentiel, et une inégalité de Carleman
combinée avec des estimées de Harnack.
ID de réunion : 974 8185 5435
Code secret : 808643
Jeudi 29/04 10h30 - Christophe
Zhang
Stabilisation de systèmes de fluides : méthode de backstepping et
généralisations.
Résumé : Après un rappel sur la méthode de backstepping
pour la stabilisation d'EDP linéaires, je présenterai un résultat de
stabilisation du bac d'eau linéarisé obtenu en collaboration avec
Jean-Michel Coron, Amaury Hayat et Shengquan Xiang. J'évoquerai
ensuite quelques pistes de réflexion sur les possibilités de
généralisation de la méthode de backstepping (notamment à d'autres
systèmes de fluide tels que les water waves), et son lien avec la notion
de F-équivalence, ainsi que d'autres méthodes de stabilisation.